Newton-Raphson
Metode
Jika Anda pernah mencoba untuk menemukan akar fungsi
rumit aljabar, Anda mungkin memiliki beberapa kesulitan. Menggunakan beberapa
konsep dasar kalkulus, kita memiliki cara numerik mengevaluasi akar fungsi
rumit. Umumnya, kita menggunakan metode Newton-Raphson. Ini proses
berulang-ulang mengikuti pedoman yang ditetapkan untuk mendekati satu akar,
mengingat fungsi, turunan, dan nilai x-awal.
Anda mungkin ingat dari aljabar
bahwa akar dari sebuah fungsi adalah nol dari fungsi. Ini berarti bahwa pada
"akar" fungsi sama dengan nol. Kita dapat menemukan akar dari fungsi
sederhana seperti: f (x) = x 2 -4 hanya dengan menetapkan fungsi ke
nol, dan memecahkan:
f (x) = x 2 -4 = 0
(X +2) (x-2) = 0
x = 2 atau x = -2
(X +2) (x-2) = 0
x = 2 atau x = -2
Metode Newton-Raphson menggunakan
proses berulang-ulang untuk mendekati salah satu akar fungsi. Akar khusus yang
menempatkan proses tergantung pada, nilai x-awal sewenang-wenang dipilih.
Di sini, x n adalah
dikenal saat ini x-nilai, f (x n) merupakan nilai fungsi pada x n,
dan f '(x n) adalah turunan (slope) pada x n. x n +1
merupakan berikutnya x-nilai yang Anda mencoba untuk menemukan. Pada dasarnya,
f '(x), derivatif merupakan f (x) / dx (dx = delta-x). Oleh karena itu, istilah
f (x) / f '(x) merupakan nilai dx.
Iterasi lebih yang dijalankan, dx
dekat akan menjadi nol (0). Untuk melihat bagaimana ini bekerja, kita akan
melakukan metode Newton-Raphson pada fungsi yang kita diselidiki sebelumnya, f
(x) = x 2 -4. Dibawah ini adalah beberapa nilai-nilai yang kita
perlu tahu untuk menyelesaikan proses.
Secara teoritis, kita bisa
mengeksekusi jumlah tak terbatas iterasi untuk menemukan representasi yang
sempurna untuk akar fungsi kita. Namun, ini adalah metode numerik yang kita
gunakan untuk mengurangi beban menemukan akar, jadi kami tidak ingin melakukan
ini. Oleh karena itu kita akan mengasumsikan bahwa proses telah bekerja secara
akurat saat kami delta-x menjadi kurang dari 0,1. Ini nilai presisi harus
spesifik untuk setiap situasi. A jauh lebih, atau nilai, apalagi tepat mungkin
tepat bila menggunakan metode Newton-Raphson di kelas. Tabel di bawah ini
menunjukkan pelaksanaan proses.
n
|
x n
|
f (x n)
|
f '(x n)
|
x n +1
|
dx
|
0
|
x = 0 6
|
f (x 0 = 32)
|
f '(x 0 = 12)
|
x 1 = 3,33
|
|
1
|
x 1 = 3,33
|
f (x 1) = 7.09
|
f '(x 1) = 6.66
|
x 2 = 2,27
|
dx = 1,06
|
2
|
x 2 = 2,27
|
f (x 2) = 1,15
|
f '(x 2) = 4,54
|
x 3 = 2,01
|
dx = .26
|
3
|
x 3 = 2,01
|
f (x 3) = 0,04
|
f '(x 3) = 4,02
|
x 4 = 2,00
|
dx = 0,01
|
Dengan demikian, menggunakan nilai x-awal enam (6)
kita menemukan satu akar persamaan f (x) = x 2 -4 adalah x = 2. Jika
kita memilih nilai x-berbeda inital, kita dapat menemukan akar yang sama, atau
kita dapat menemukan yang lain, x = -2.
Sebuah representasi grafis juga
dapat sangat membantu. Di bawah ini, Anda lihat fungsi yang sama f (x) = x 2
-4 (ditampilkan dalam warna biru). Proses di sini adalah sama seperti di atas.
Dalam putaran pertama, garis merah bersinggungan dengan kurva pada x 0.
Kemiringan garis singgung adalah derivatif pada titik singgung, dan untuk
iterasi pertama adalah sama dengan 12. Membagi nilai fungsi pada x awal (f (6)
= 32) dengan kemiringan tangen (12), kita menemukan bahwa delta-x adalah sama
dengan 2,67. Pengurangan ini dari enam (6) kita menemukan bahwa baru x-nilai
sama dengan 3,33. Cara lain dari mengingat ini adalah untuk menemukan akar dari
garis singgung. Baru x-nilai (x n +1) akan sama dengan akar
bersinggungan dengan fungsi pada saat x-nilai (x n).
Metode Newton-Raphson tidak selalu
bekerja, namun. Ini berjalan ke masalah di beberapa tempat. Pertama, perhatikan
contoh di atas. Apa yang akan terjadi jika kita memilih sebuah x nilai awal x =
0? Kami akan memiliki "pembagian dengan nol" kesalahan, dan tidak
akan mampu untuk melanjutkan. Anda juga dapat mempertimbangkan operasi proses
pada fungsi f (x) = x 1/3, menggunakan nilai x-inital dari x = 1.
Apakah x-nilai konvergen? Apakah penurunan delta-x menuju nol (0)?
Jadi, bagaimana hal ini berhubungan
dengan kimia? Pertimbangkan van der Waals persamaan ditemukan di bagian Gas
Hukum teks ini. Dengan asumsi bahwa kita memiliki sejumlah set mol gas set,
tidak di bawah kondisi ideal, kita dapat menggunakan metode Newton-Raphson
untuk memecahkan salah satu dari tiga variabel (suhu, tekanan, atau volume),
berdasarkan pada dua lainnya. Untuk melakukan hal ini, kita perlu menggunakan
van der Waals persamaan, dan turunan dari persamaan ini, keduanya terlihat di
bawah.
Seperti yang Anda lihat, Van der
Waals persamaan cukup kompleks. Hal ini tidak mungkin untuk menyelesaikannya
aljabar, sehingga metode numerik harus digunakan. Metode Newton-Raphson adalah
cara termudah dan paling dapat diandalkan untuk memecahkan persamaan seperti
ini, meskipun persamaan dan turunannya tampaknya cukup menakutkan.
Tergantung pada kondisi di mana Anda
mencoba untuk memecahkan persamaan ini, beberapa variabel dapat berubah. Jadi,
mungkin perlu untuk menggunakan derivatif parsial. Untuk keperluan contoh ini,
kita mengasumsikan bahwa tekanan, temperatur, dan volume adalah satu-satunya
hal berubah, dan bahwa nilai-nilai ini semua fungsi waktu. Hal ini untuk
menghindari penggunaan turunan parsial, kita hanya membedakan semua variabel
terhadap waktu, seperti yang ditunjukkan di atas. Beberapa manipulasi aljabar
dan persamaan / atau turunannya mungkin diperlukan tergantung pada masalah
tertentu yang harus dipecahkan. Diasumsikan bahwa semua variabel tapi satu yang
ditetapkan, variabel yang digunakan dalam ekspresi untuk "x n
+1" bahwa metode Newton menggunakan. Melakukan metode Newton pada
persamaan ini berhasil akan memberikan nilai dari variabel yang memberikan
solusi ketika variabel lainnya tetap konstan pada nilai-nilai yang Anda
tentukan.
Latihan
- Tentukan salah satu akar persamaan nonlinier f(x)= X2 – 5x+6 dengan metode Newton Rapshon. Jika diketahui nilai awal x=0, toleransi galat relatif x adalah 0,002 serta ketelitian hingga 3 desimal.
Referensi:
http://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=http://www.sosmath.com/calculus/diff/der07/der07.html&prev=/search%3Fq%3Dnewton%2Braphson%26hl%3Did%26client%3Dfirefox-a%26hs%3D2cw%26rls%3Dorg.mozilla:en-US:official%26prmd%3Dimvnsb&sa=X&ei=6-xsUL2DBoSnrAeWhYHYDQ&ved=0CDQQ7gEwAQ.
Diunduh pada tanggal 4 oktober 2012 pada pukul 09.04 WIB
http://translate.google.co.id/translate?hl=id&sl=en&u=http://www.shodor.org/unchem/math/newton/index.html&prev=/search%3Fq%3Dnewton%2Braphson%26hl%3Did%26client%3Dfirefox-a%26hs%3D2cw%26rls%3Dorg.mozilla:en-US:official%26prmd%3Dimvnsb&sa=X&ei=6-xsUL2DBoSnrAeWhYHYDQ&ved=0CFwQ7gEwBw
.
Diunduh pada tanggal 4 oktober 2012 pada pukul 09.11 WIB.
baca selanjutnya di web iain snj cirebon
0 komentar:
Posting Komentar